MATEMATICAS

Sistemas de inecuaciones cuadráticas

I – Sistemas de inecuaciones no lineales en una variable.
Los sistemas de inecuaciones no lineales con una variable se resuelven usando el mismo procedimiento que los lineales, resolviendo por separadas las inecuaciones y luego se halla la intersección de los intervalos solución de las inecuaciones.
Ejemplos: 1.
Resolver   x² – 5x + 6 < 0
                x² – 7x + 10 ≥ 0                 
  1º   x² – 5x + 6 < 0 factorizando  (x – 1)(x – 6) < 0

Prueba	Intervalos	(x – 1)	(x – 6)	(x – 1)(x – 6) < 0
X =  0	(-∞, 1)	–	-	(–)(–) = +
X = 3	(1, 6)	+	-	(+)(–) =  –
X = 8	(6, +∞)	+	+	(+)(+) = +

2º    X² – 7x + 10 ≥ 0 factorizando  (x – 2)(x – 5) ≥ 0

Prueba	Intervalos	(x – 2)	(x – 5)	(x – 1)(x – 6) ≥ 0
X = - 4	(-∞, 2]	–	-	(–)(–) = +
X = 3	[2, 5]	+	-	(+)(–) =  –
X = 7	[5, +∞)	+	+	(+)(+) = +

El conjunto solución del sistema es la intersección de los intervalos soluciones de ambas inecuaciones.
(1, 6) ∩ (-∞, 3) U (5, + ∞) = (1,3] U [5,6).
Ejemplo 2
x² + 3x – 3 ≤ x igualando a cero  x² + 2x – 3 ≤ 0
x² + 2x – 7 > 1 igualando a cero  x² + 2x – 8 > 0
1º)     X² + 2x – 3 ≤ 0 factorizando (x + 3)(x – 1) ≤ 0

Prueba	Intervalos	(x + 3)	(x – 1)	(x + 3)(x – 1) ≤ 0
x = - 5	(-∞, - 3)	–	-	(–)(–) = +
x = - 2	(- 3, 1)	+	-	(+)(–) =  –
x =  4	(1, +∞)	+	+	(+)(+) = +

2º)   X² + 2x – 8 > 0 factorizando (x + 4)(x – 2) > 0

Prueba	Intervalos	(x + 4)	(x – 2)	(x + 4)(x – 2) > 0
X = - 5	(-∞, - 4)	–	-	(–)(–) = +
X = - 2	(- 4, 2)	+	-	(+)(–) =  –
X = 4	(2, +∞)	+	+	(+)(+) = +

El conjunto solución del sistema es la intersección de los intervalos solución de ambas inecuaciones.
[- 3, 1] ∩ (-∞, - 4) U (2, + ∞) = Ø
Ejercicios: resolver
a)      x2 – 3x > x              b)  2x2+5x-1 < x2-3x-16              c)  x+3x2 < 2x2+4x  
       -2(1 - x) ≥ - x2                 3x+x2 – 6 > 2x+6                       x2 + x < 8+5x+4